MAPA – CDAC – INTRODUÇÃO À ALGEBRA LINEAR – 54_2025
Olá, Acadêmico(a)!
Nesta atividade MAPA, você terá a oportunidade de aplicar seus conhecimentos sobre grafos, estruturas matemáticas fundamentais para representar objetos e as relações entre eles.
Grafos são estruturas matemáticas usadas para representar conjuntos de objetos e as relações entre eles. Eles consistem em vértices (ou nós), que representam os objetos, e arestas (ou ligações), que representam as relações entre esses objeto. Em outras palavras, um grafo é uma forma de modelar situações em que existem elementos e suas interconexões. Por exemplo, redes sociais, mapas rodoviários, circuitos elétricos e até mesmo o fluxo de informações podem ser representados e analisados usando grafos, como ilustra a figura 1.
Figura 1 – Estrutura baseada em grafo.
Fonte: Lóscio. Disponível em: . Acesso em: 28 ago. 2025.
Um grafo orientado, ou digráfico, consiste em um conjunto finito de pontos P1, P2, P3, …, Pn chamados de vértices ou nós, juntamente com um conjunto finito e arestas ou arcos, cada um dos quais unindo um par ordenado de vértices distintos. Dessa maneira, a aresta orientada Pij é diferente da aresta Pji. Observe que um digráfico pode não haver arestas orientadas de um vértice Pi para qualquer outro vértice ou arestas orientadas de qualquer um dos vértices para o vértice Pi. Além de que, nenhum vértice pode ser alcançado a partir de si mesmo por uma única aresta. Ele pode ser alcançado a partir de si mesmo por meio de outros vértices, ou seja, não há ciclos. A figura 2 ilustra um grafo orientado.
Figura 2 – Grafo orientado e ponderado.
Fonte: elaborado pelo professor, 2025.
Um grafo ponderado, também conhecido como grafo valorado, é um tipo de grafo onde cada aresta possui um valor associado, chamado de peso ou custo. Esses valores podem representar diversas medidas, como distância, custo, tempo, ou qualquer outra grandeza relevante para o problema modelado pelo grafo. Na figura 2 é possível constatar o peso de A para B é 2.
Uma matriz de adjacência é uma representação numérica de um grafo em que as linhas e colunas correspondem aos vértices do grafo. Cada célula da matriz indica a existência ou não de uma aresta entre dois vértices. Se existir uma aresta, a célula conterá um valor (geralmente 1 ou o peso da aresta, se o grafo for ponderado), caso contrário, conterá 0 (ou infinito, no caso de grafos ponderados).
Um grafo orientado ponderado é representado por uma matriz de adjacência onde as entradas A[i][j] contêm o peso da aresta (ou arco) que liga o vértice i ao vértice j. Se um arco não existir entre i e j, o valor na célula A[i][j] é geralmente representado por um valor que não pode ser usado como peso, como 0.
Considere o seguinte grafo, que representa as conexões e relacionamentos entre diferentes conjuntos de transferência de informações numeradas de 1 até 10 ilustrada na Figura 3.
Figura 3 – Grafo de conexões e relacionamentos entre diferentes conjuntos de transferência de informações
Fonte: IME-USP, 2025. Disponível em: . Acesso em: 28 ago. 2025.
Com base nessas informações, resolva os itens abaixo:
A) Escreva a matriz de adjacência, A, do grafo da Figura 3.
B) Qual o valor do determinante da matriz A? Explique sua resposta.
Mostre os cálculos para o item C).
IMPORTANTE:
- Acesse o link com um vídeo tutorial para ajudá-lo nesse processo de criação e desenvolvimento. O acesso deverá ser realizado em: Materiais >> Material da Disciplina.
- Responda a todos os itens, seguindo como roteiro os tópicos elencados anteriormente, e coloque em um único arquivo.
- A entrega deve ser feita por meio do Template de entrega da atividade MAPA, disponível no material da disciplina.
- Antes de enviar sua atividade, certifique-se de que respondeu a todas as perguntas e realize uma cuidadosa correção ortográfica.
- Após o envio não são permitas alterações, ou modificações. Logo, você tem apenas uma chance de enviar o arquivo corretamente. Revise bem antes de enviar!
- Lembre-se de que evidências de cópias de materiais, incluindo de outros estudantes, sem devidas referências, serão inquestionavelmente zeradas. As citações e referências, mesmo que do livro da disciplina, devem ser realizadas conforme normas da Instituição de Ensino.
- Não são permitidas correções parciais no decorrer do módulo, ou seja, o famoso: “professor, veja se minha atividade está certa?”. Isso invalida seu processo avaliativo. Lembre-se de que a interpretação da atividade também faz parte da avaliação.
- Procure sanar suas dúvidas junto à mediação em tempo hábil sobre o conteúdo exigido na atividade, de modo que consiga realizar sua participação.
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