1) Considere o sinal: em que é a função degrau unitário.

1) Considere o sinal:

 

em que é a função degrau unitário.

 

Partindo exclusivamente da definição integral da Transformada de Laplace, determine a expressão de . O desenvolvimento deve ser realizado de forma completa, evidenciando todas as etapas intermediárias, incluindo manipulação algébrica, substituições e aplicação de técnicas de integração apropriadas.

 

A Transformada de Laplace de um sinal causal é definida por:

 

Substituindo o sinal fornecido, observa-se que o integrando assume a forma de um produto entre um termo polinomial em e uma exponencial decrescente. Esse tipo de estrutura sugere a aplicação do método de integração por partes, uma vez que a presença do termo impede a integração direta.

 

Calcule a Transformada de Laplace de utilizando a definição integral. É obrigatório apresentar todo o desenvolvimento matemático.

 

2) Utilizando o resultado obtido na questão (1) anterior, considere agora um sistema dinâmico representado por uma função de transferência:

 

Esse processo envolve a aplicação direta da teoria clássica de controle, na qual a função de transferência de malha fechada é expressa como:

 

Determine a função de transferência em malha fechada e apresente o sinal da saída .

 

3) Considere um sistema de aquisição de sinais biomédicos (ex.: ECG simplificado), em que o sinal pode ser modelado como:

 

Trata-se de um sinal bilateral, contínuo, absolutamente integrável e simétrico em relação à origem, características que o tornam particularmente relevante em aplicações de engenharia, como modelagem de respostas impulsivas em sistemas físicos dissipativos, circuitos RC e fenômenos de relaxação exponencial.

 

1. a) Calcule a Transformada de Fourier.

 

1. b) Interprete o espectro obtido.

 

Bons estudos!