ATIVIDADE 3 - GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR - 53_2025

ATIVIDADE 3 – GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR – 53_2025

Questão 1

O cálculo de autovalores e autovetores é relacionado à resolução de algumas aplicações práticas de engenharia.

Considere a transformação abaixo:

T(x,y)=(x,3x+2y)

Quais os autovetores relacionados a essa transformação?

Alternativas

Alternativa 1:

(1,1) e (3,3)

Alternativa 2:

(1,-3) e (0,1)

Alternativa 3:

(1,0) e (0,1)

Alternativa 4:

(1,-3) e (1,0)

Alternativa 5:

(1,1) e (2,2)

Questão 2

A combinação linear, importante procedimento em espaços e subespaços vetoriais, é capaz de criar inúmeros vetores do espaço em questão, se os vetores primordialmente escolhidos forem LI.
Considerando os vetores indicados por:

Texto elaborado pelo Professor, 2018.

É correto o que se afirma em:

Alternativas

Alternativa 1:

I, II e IV, apenas

Alternativa 2:

I, III e IV, apenas.

Alternativa 3:

I, II e III, apenas.

Alternativa 4:

II, III e IV, apenas.

Alternativa 5:

I, II, III e IV.

Questão 3

Deseja-se saber informações sobre um conjunto de itens em um estoque. Para isso, para dois itens colineares foram definidas as seguintes posições:
ITEM A: (2,1,4);
ITEM B: (5,1,6);

Texto elaborado pelo Professor, 2018.

Sobre outros itens do mesmo estoque, avalie as afirmações a seguir:

I. P (8, 1, 8) corresponde a um item colinear a A e B.
II. P (11,3,10) corresponde a um item colinear a A e B.
III. P (3,3,3) está mais próximo do item A do que do item B.
IV. P (3,5, 1, 5) está exatamente no meio do caminho entre os dois.

Esta correto o que se afirma em:

Alternativas

Alternativa 1:

III, apenas.

Alternativa 2:

I e II, apenas.

Alternativa 3:

II e IV, apenas.

Alternativa 4:

I, III e IV, apenas.

Alternativa 5:

I, II, III e IV.

Questão 4

As duas equações abaixo resumem os conceitos de autovetores e de autovalores. O primeiro conceito está relacionado aos vetores “v” que resolvem a primeira equação descrita. Os autovalores são aqueles escalares para os quais a segunda equação é verdadeira. Estes dois conceitos auxiliam nos cálculos de equações matriciais não convencionais (como envolvendo potenciação de matrizes).

Avalie as afirmações a seguir:

Está correto o que se afirma em:

Alternativas

Alternativa 1:

I e II, apenas.

Alternativa 2:

II e III, apenas.

Alternativa 3:

III e IV, apenas.

Alternativa 4:

II, III e IV, apenas.

Alternativa 5:

I, II, III e IV.

Questão 5

A avaliação de posições relativas (entre pontos e retas, retas e planos e afins) é uma possibilidade de estudar distâncias de forma mais abrangente, podendo ser aplicadas de inúmeras formas na engenharia como na medida de distâncias entre estruturas. Também muito útil nesses casos é verificar as condições (paralelos perpendiculares) entre si. Deseja-se acoplar duas chapas metálicas e para isso deve-se avaliar se estas estão completamente paralelas entre si. Sabendo as equações dos planos nos quais as placas estão contidas são:

Texto elaborado pelo Professor, 2018.

Sobre os dois planos, avalie as afirmações a seguir:

I. Os planos são paralelos e a distância entre os dois planos é maior que 1 unidade de medida.
II. Os planos serão perpendiculares.
III. Os planos são paralelos e a distância entre os dois planos é maior que 2 unidades de medida.
IV. Os planos são não coincidentes.

É correto apenas o que se afirma em:

Alternativas

Alternativa 1:

I, apenas.

Alternativa 2:

III, apenas.

Alternativa 3:

IV, apenas.

Alternativa 4:

I e IV, apenas.

Alternativa 5:

II e IV, apenas.

Questão 6

Orientações:

Está disponível em Material da Disciplina o arquivo Modelo de Resposta AE 3 GAAL (documento WORD), o qual vocês podem utilizar para responder a atividade. Seu uso não é obrigatório, mas auxilia a realizar e organizar seu trabalho.
Não serão aceitas respostas que constam apenas o resultado final, sem que seja demonstrado o raciocínio que o levou a encontrar aquela resposta (isso pode ser feito à mão e inserida a foto no documento WORD, pode ser feito diretamente no documento WORD ou pode ser feito no EXCEL e inserida no documento WORD).
O arquivo de resposta pode ter quantas páginas você precisar para respondê-lo, desde que siga o Modelo de Resposta AE 3 GAAL.
Quando for enviar a atividade pelo STUDEO, confira se é o arquivo correto da atividade e se o arquivo foi adequadamente enviado.
Trabalhos idênticos serão zerados.

Bom trabalho!

ATIVIDADE 3:

As Transformações (e consequentemente, as Transformações Lineares) estão entre as principais aplicações da Álgebra Linear. Lembrando: dados dois conjuntos, não vazios, U e V, uma aplicação (transformação) de U em V é uma “lei” que associa a cada elemento de U um único elemento de V. Se denotamos por F esta aplicação, então, o elemento associado é denotado por F(u), que está em V, denominado a imagem de u pela aplicação F.
Para a Transformação a seguir, responda ao que se pede:

T: R³ --> R³, T(x,y,z) = (x + 2y + z, 2x + y – z, x + y)

(a) A Transformação é Linear? Comprove sua resposta através da aplicação da conservação, ou não, das Operações de Soma e Multiplicação.

(b) Qual o Núcleo de T [ Ker(T) ]?

(c) Qual a dimensão do Núcleo [ dim(Ker) ]? A Transformação é injetora?

(d) Qual a Imagem de T [ Im(T) ]?

(e) Qual a dimensão da Imagem [ dim(Im) ]? A Transformação é sobrejetora?

(f) Qual a matriz da Transformação?

(g) Quais seus autovalores?

(h) Quais seus autovetores?

Questão 7

Ao se analisar uma transformação linear é possível traduzi-la na forma de uma matriz. Isso é possível pois as matrizes, como elementos de um espaço vetorial, conservam todas as propriedades necessárias a uma transformação linear. A utilização de matrizes não aparece por acaso e está vinculada aos conceitos de autovalores e autovetores de uma função.

Com base no exposta acime, avalie as afirmações:

É correto o que se afirma em:

Alternativas

Alternativa 1:

Apenas I e II.

Alternativa 2:

Apenas III e IV.

Alternativa 3:

Apenas I, II e III.

Alternativa 4:

Apenas II, III e IV.

Alternativa 5:

I, II, III e IV.

Questão 8

Apresentadas as equações abaixo, avalie o que é afirmado a seguir.

I. 4x² + 5y² = 20 é uma elipse.
II. x² = 1 – y é uma parábola.
III. y + 3 = x² é uma hipérbole.
IV. x² + 10y² = 10 é uma elipse.

É correto o que se afirma em:

Alternativas

Alternativa 1:

Apenas I e II.

Alternativa 2:

Apenas I, II e III.

Alternativa 3:

Apenas I, II e IV.

Alternativa 4:

Apenas I, III e IV.

Alternativa 5:

Apenas II, III e IV.

Questão 9

O cálculo de autovalores e autovetores é relacionado à resolução de algumas aplicações práticas de engenharia.
Considere a transformação abaixo:

T(x,y)=(x,3x+2y)

Quais os autovalores e autovetores relacionados a transformação?

Elaborado pelo Professor, 2023.

Alternativas

Alternativa 1:

Autovalor = 1 / Autovetor = (1,-3) // Autovalor = -1 / Autovetor = (1,1)

Alternativa 2:

Autovalor = 3 / Autovetor = (1,3) // Autovalor = 2 / Autovetor = (0,1)

Alternativa 3:

Autovalor = 1 / Autovetor = (1,-3) // Autovalor = 2 / Autovetor = (0,1)

Alternativa 4:

Autovalor = 1 / Autovetor = (1,3) // Autovalor = 2 / Autovetor = (0,-1)

Alternativa 5:

Autovalor = -1 / Autovetor = (1,-3) // Autovalor = 2 / Autovetor = (0,1)

Questão 10

Durante o cálculo de matrizes, algumas definições auxiliam tanto na categorização delas, como no aumento de praticidade ao se fazer certos cálculos matriciais.

Elaborado pelo Professor, 2019.

Sobre matrizes, afirma-se:

I. Se apenas os elementos a₁₁, a₂₂ e a₃₃ em uma matriz 3×3 são não nulos, pode-se dizer que a matriz é “diagonal” e seu determinante será igual a multiplicação destes elementos.
II. Se todos os elementos de uma matriz são nulos ela é classificada como matriz triangular e possui determinante igual a zero.
III. Se apenas os elementos a₁₁, a₂₂ e a₃₃ em uma matriz 3×3 são não nulos e iguais a 1, pode-se dizer que a matriz é “identidade” e seu determinante será igual a 1.
IV. Em uma matriz nula todos os elementos serão iguais a zero.

Estão corretas as afirmativas:

Alternativas

Alternativa 1:

I, II e III, apenas.

Alternativa 2:

I, II e IV, apenas.

Alternativa 3:

I, III e IV, apenas.

Alternativa 4:

II, III e IV, apenas.

Alternativa 5:

I, II, III e IV.

ATIVIDADE 3 - GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR - 53_2025

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