ATIVIDADE 3 – ECO – MATEMÁTICA PARA ECONOMISTA II – 52_202

ATIVIDADE 3 – ECO – MATEMÁTICA PARA ECONOMISTA II – 52_202

 

QUESTÃO 1

Em economia, a produtividade marginal mede o acréscimo da quantidade produzida obtido com o acréscimo de uma unidade do insumo (seja esse insumo a mão de obra ou o capital). Matematicamente, a produtividade marginal de mão de obra corresponde a derivada parcial e primeira ordem em relação a variável mão de obra e a produtividade marginal dede capital corresponde a derivada parcial e primeira ordem em relação a variável capital (Tan, 2014).

Fonte: TAN, S. T.; Matemática Aplicada a Administração e Economia. [S.l.]: Cengage Learning, 2014.

 

Considere que a produtividade de certo país nos anos seguintes a uma severa recessão é descrita pela função f(x, y) = 30 x2/3y1/3, em que f(x,y) é medido em unidades, quando x unidade de mão de obra e y unidades de capital foram empregadas. Assuma, ainda, que as quantidades gastas pelo governo em mão de obra e capital são de 512 unidades e 64 unidades, respectivamente.

 

Considerando as informações acima, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas:

 

1. Nos primeiros anos de recuperação do país, o governo deveria encorajar o investimento no gasto de capital e manter constante o gasto em mão de obra.

PORQUE

 

1. Um aumento de uma unidade no gasto de capital resultou em um aumento 200% em produtividade, quando comparado com o gasto com mão de obra.

 

A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:

 

Alternativas

 Alternativa 1 – As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.

 Alternativa 2 – As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.

 Alternativa 3 – A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.

 Alternativa 4 – A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.

 Alternativa 5 – As asserções I e II são proposições falsas.

 

QUESTÃO 2

Modelos matemáticos são utilizados em muitos campos da atividade humana, como: Matemática, Economia, Física, Química, Biologia, Psicologia, Comunicação, Demografia, Astronomia, Engenharia etc. Para analisar melhor uma determinada realidade, se constrói um modelo matemático que ajude a entender e decodificar essa realidade, tal modelo consiste num conjunto de registros e parâmetros que traduzem as características e atributos do mundo real.

Fonte: AMORIM, M. P.; Modelos Matemáticos e Computacionais da Dengue via Equações Diferenciais Ordinárias com Estratégias de Controle. Dissertação (mestrado) – Universidade Federal Fluminense, Volta Redonda, 2020.

Assuma que uma pesquisadora queira estudar a porcentagem da população de uma região que teria sido infectada com a dengue até certo dia, ao longo de um ano. Ela modelou o problema e propôs desenvolver o estudo utilizando a equação diferencial , em que P(t)% seria a porcentagem da população infectada em t dias, a partir do dia 1º de março de 2023, considerado dia t = 0. No estudo, ela verificou que, no dia t = 0, (ou seja, no início da pesquisa), 3% da população estava contaminada, isto é, P(0) = 3.

 

A partir dessa situação hipotética, analise as afirmações a seguir:

 

1. O modelo proposto pela pesquisadora é uma equação diferencial de primeira ordem.
2. O modelo proposto é uma equação diferencial ordinária e não linear.

III. A situação descrita pode ser expressa pelo problema de valor inicial .

 

É correto o que se afirma em:

 

Alternativas

 Alternativa 1 – I, apenas.

 Alternativa 2 – II, apenas.

 Alternativa 3 – I e III, apenas.

 Alternativa 4 – II e III, apenas.

 Alternativa 5 – I, II e III.

 

QUESTÃO 3

Uma das operações que podem ser feitas com a própria matriz é calcular seu determinante. Esta propriedade é calculada apenas para matrizes quadradas, ou seja, aquelas em que o número de linhas é igual ao número de colunas. Portanto, matrizes do tipo 2×2, 3×3, 4×4 e assim sucessivamente tem um determinante.

Considere as duas matrizes A e B quadradas 3×3 apresentadas a seguir.

 

Utilizando as operações sobre matrizes e o cálculo do determinante, analise as afirmações apresentadas.

 

1. O determinante da Matriz A é positivo e da matriz B negativo.
2. Se multiplicarmos o determinante da matriz A por 10 encontraremos -50.

III. A soma dos determinantes das matrizes A e B resulta em -10.

 

É correto o que se afirma em:

 

Alternativas

 Alternativa 1 – III, apenas.

 Alternativa 2 – I e II, apenas.

 Alternativa 3 – I e III, apenas.

 Alternativa 4 – II e III, apenas.

 Alternativa 5 – I, II e III.

 

QUESTÃO 4

Uma empresa do ramo de siderurgia utiliza quatro insumos básicos em seu processo de produção de ligas metálicas que são comercializadas em lâminas e lingotes. Esses insumos são definidos como x1, x2, x3 e x4, e os custos de cada insumo também são conhecidos como p1, p2, p3 e p4.

 

Se a empresa utilizar a notação vetorial e criar os vetores insumos e preço representando-os respectivamente por x = (1730, 3520, 860, 1240), em toneladas e p = (1,31; 2,25; 4,80; 1,75), em R$/toneladas, assinale a alternativa que apresente corretamente o custo total pelo uso desta quantidade de insumos:

 

Alternativas

 Alternativa 1 – R$12.683,90.

 Alternativa 2 – R$14.383,70.

 Alternativa 3 – R$16.484,30.

 Alternativa 4 – R$22.352,10.

 Alternativa 5 – R$25.114,80.

 

QUESTÃO 5

As matrizes podem ser operadas entre si, sendo somadas, subtraídas e multiplicadas. Pode-se também multiplicar as matrizes por um número (escalar) alterando todos os elementos da matriz. Quando a matriz possui apenas uma linha ela é chamada de matriz linha e quando ela possui apenas uma coluna é chamada de matriz coluna. Considere as duas matrizes A (linha) e B (coluna) apresentada a seguir.

 

A matriz A tem dimensões 1×3 e a matriz B dimensões 3×1, logo, o produto entre A e B pode ser realizado, desta forma, assinale a alternativa com o elemento da matriz resultado do produto entre os vetores A e B.

 

Alternativas

 Alternativa 1 – -25.

 Alternativa 2 – -3.

 Alternativa 3 – 7.

 Alternativa 4 – 10.

 Alternativa 5 – 15.

 

QUESTÃO 6

O arranjo de coordenadas no plano cartesiano, conhecido também como sistema cartesiano, é uma estrutura em grade essencial para definir pontos em um espaço específico com dimensões. Considere no plano cartesiano que os pontos P(5, 3y) e Q(2x+y, x+1) sejam coincidentes.

Na situação apresentada, o valor de é igual a:

 

Alternativas

 Alternativa 1 – 1/8.

 Alternativa 2 – 1/4.

 Alternativa 3 – 2.

 Alternativa 4 – 4.

 Alternativa 5 – 8.

 

QUESTÃO 7

A equação da taxa de crescimento logístico ou de Verhulst é outra maneira de fazer a estimativa da população de uma região. Considere a seguinte taxa de crescimento.

 

Utilizando a solução apresentada em seu material para a equação diferencial de Verhulst, calcule a população estimada para 20 anos sabendo que a população atual (t = 0) é de 80.000 habitantes, e assinale a alternativa correta:

 

Alternativas

 Alternativa 1 – 85.232 habitantes.

 Alternativa 2 – 90.781 habitantes.

 Alternativa 3 – 95.154 habitantes.

 Alternativa 4 – 103.117 habitantes.

 Alternativa 5 – 111.325 habitantes.

 

QUESTÃO 8

A regra de Cramer é uma ferramenta matemática empregada para resolver sistemas de equações lineares com um número igual de equações e incógnitas usando determinantes. Essa ferramenta poderosa é empregada na resolução de problemas matemáticos, de engenharia e de economia.

 

Considere o sistema de equações lineares dado por:

 

Nessas condições, o valor de a – b – c é igual a:

 

Alternativas

 Alternativa 1 – 1.

 Alternativa 2 – 2.

 Alternativa 3 – 3.

 Alternativa 4 – 4.

 Alternativa 5 – 5.

 

QUESTÃO 9

Uma cooperativa elaborou equações para o equilíbrio de mercado entre farelo de soja e farelo de trigo, descrevendo o farelo de soja com índice A e o farelo de trigo com índice B. As equações são apresentadas a seguir:

 

Nestas equações, QS representa as quantidades ofertadas, QD as quantidades demandadas em toneladas e P, os preços de cada produto em R$/kg.

 

Com o objetivo de analisar o equilíbrio simultâneo de mercado para os dois tipos de farelo, resolva as equações apresentadas utilizando os conceitos de matrizes e sistemas de equações lineares e analise as afirmações apresentadas.

 

1. O preço de equilíbrio para o farelo de soja (PA) é de R$2,05/kg.
2. O preço de equilíbrio para o farelo de trigo (PB) é de R$3,12/kg.

III. A demanda de equilíbrio para o farelo de soja (QdA) é de 46 toneladas.

 

É correto o que se afirma em:

 

Alternativas

 Alternativa 1 – III, apenas.

 Alternativa 2 – I e II, apenas.

 Alternativa 3 – I e III, apenas.

 Alternativa 4 – II e III, apenas.

 Alternativa 5 – I, II e III.

 

QUESTÃO 10

Os modelos formais de desenvolvimento econômico, baseados em termos da visão keynesiana ou na visão neoclássica são essenciais para a compreensão do processo de desenvolvimento econômico, embora apresentem sérias limitações que não podem ser perdidas de vista. Um desses modelos é o modelo de crescimento econômico de Harrod-Domar que apresenta uma grande simplicidade e, na medida em que dá primazia à acumulação de capital e não garante qualquer equilíbrio automático e necessário da economia através dos mecanismos de mercado, parece se adequar melhor à explicação do processo de desenvolvimento econômico que outros modelos mais complexos.

 

A solução do modelo de crescimento de Harrod-Domar descreve a trajetória do produto de uma economia através da equação diferencial de primeira ordem

em que Y é o produto, t, o tempo, s, a propensão marginal a poupar, e v, a relação incremental capital-produto. Sendo Y0 o valor inicial do produto e assumindo que s = 0,5 e v = 3,5, a solução dessa equação é:

 

Alternativas

 Alternativa 1 – .

 Alternativa 2 – .

 Alternativa 3 – .

 Alternativa 4 – .

 Alternativa 5 – .