Considerando que a área de uma superfície é calculada, no caso onde f é positiva e tem derivada contínua

MAPA – ESOFT – CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL – 54_2024

Olá, estudante!

Essa é a proposta de atividade M.A.P.A. (Material de Avaliação Prática da Aprendizagem), e você terá a oportunidade de explorar conceitos fundamentais de cálculo diferencial.

Contextualização:

Você já viu o funcionamento de um dique ou barragem?
Os diques são estruturas de engenharia hidráulica que servem para controlar a água de rios e lagos. Essas estruturas possuem dois principais objetivos: evitar inundações e criar novas áreas de terra.
São muito utilizados para evitar inundações ao impedir que a água de rios e lagos transbordem. Afinal, isso é importante para proteger áreas habitadas e infraestruturas importantes.
Além disso, os diques também podem ser usados para criar novas áreas de terra. Isso é feito construindo um dique em uma área inundada e, em seguida, drenando a água. Essas novas áreas de terra podem ser usadas para agricultura, habitação ou outros propósitos.

Vamos entender melhor:

https://www.youtube.com/watch?v=MEEVcpnfElY

Falando agora sobre as formas que essas estruturas podem assumir, é possível dizer os diques podem assumir várias formas geométricas, dependendo de sua função, do tipo de solo e das condições ambientais. As formas geométricas mais comuns incluem:

Retangular: é uma das formas mais simples e comuns, especialmente em áreas planas. Os diques retangulares têm uma base larga e uma altura uniforme, proporcionando uma barreira efetiva contra a água.

Curvilíneo: essa forma é frequentemente usada em áreas em que é necessário se adaptar ao contorno natural do terreno ou para otimizar a eficiência em controlar o fluxo de água. Diques curvilíneos podem ter uma forma sinuosa que segue o curso dos rios ou das linhas costeiras.

Triangular: em alguns casos, os diques podem ter uma forma triangular, especialmente quando são projetados para suportar grandes volumes de água em áreas específicas. Essa forma pode ajudar a distribuir a pressão da água de maneira mais uniforme.

Côncava ou Convexa: dependendo da pressão da água e das características do solo, um dique pode ser projetado com uma superfície côncava (curvada para dentro) ou convexa (curvada para fora). O formato côncavo pode ajudar a resistir melhor à pressão da água, enquanto o formato convexo pode ajudar a desviar a água.

Em Forma de Coração ou em L: algumas vezes, os diques são projetados com formas mais complexas, como em “L” ou outras formas personalizadas, para se ajustar a características específicas do terreno ou para integrar-se com outras estruturas de controle de água.

Misto: em muitos casos, os diques combinam várias formas geométricas para atender melhor às necessidades específicas do local. Por exemplo, um dique pode ter uma base retangular com uma parte superior curvilínea.

Material Complementar:

Link Geogebra: https://www.geogebra.org/calculator/kbxrpzqx

Avaliação:
Imagine a seguinte situação:

Você foi contratado para desenvolver um software que faça o controle de vazão de água de um dique cujo formato é definido como uma semiparábola. Para esse software, foram fornecidas as seguintes imagens:

Fonte: https://www.cadena3.com/noticia/cordoba/6-diques-para-visitar-un-fin-de-semana-en-cordoba_293420. Acesso em: 17 set. 2024.

Fonte: https://www.cadena3.com/noticia/cordoba/6-diques-para-visitar-un-fin-de-semana-en-cordoba_293420. Acesso em: 17 set. 2024.

Em termos mais específicos, o dique foi projetado de forma que sua superfície fosse definida através do arco da parábola f(x) = 1/3.x² delimitada por (2,4/3) e (4,16/3), girando em torno do eixo y, resultando na seguinte imagem:

Fonte: a autora.

Contudo, para a construção desse dique, devido ao relevo da região, foi utilizada somente metade da superfície de revolução definida, tal como:

Fonte: a autora.
Considerando que a área de uma superfície é calculada, no caso onde f é positiva e tem derivada contínua, definimos a área da superfície obtida pela rotação da curva y=f(x), em torno do eixo y como:

Responda:

a) Qual é a área da região definida anteriormente, expressa em unidades de área (u.a)?

Para responder ao item b) imagine agora a seguinte situação: é necessário que se defina o volume de concreto existente para essa barragem, definido entre as seguintes funções:

Considerando, ainda, que o volume de um sólido de revolução em relação ao eixo y será dado por:

Sua imagem está definida:

Fonte: a autora.

Responda:

b) Qual é o valor do volume da região compreendida entre as funções f(x) e g(x)?
Resposta em unidades de volume (u.v).
Considere a integração em relação ao eixo y.

c) Seguindo ainda a questão de vazão, você deve projetar 3 janelas de vazão de forma retangular, tal como a imagem a seguir:

Considerando que cada uma dessas janelas tenham um perímetro de 20m, qual é a área máxima desse retângulo respeitando as informações fornecidas?
Considere que a área de um retângulo é dada por A = BxH, onde (B = Base; H = Altura). Lembrando de considerar o retângulo em um plano e sem considerar a curva do dique.

Observação: mostre os cálculos para os itens a), b) e c).

IMPORTANTE:
1. Acesse o link com um vídeo tutorial para ajudá-lo nesse processo de criação e desenvolvimento. O acesso deverá ser realizado em: Materiais >> Material da Disciplina ou no Fórum Interativo.
2. Responda a todos os itens, seguindo como roteiro os tópicos elencados anteriormente, e coloque em um único arquivo.
3. A entrega deve ser feita por meio do Template de entrega da atividade MAPA, disponível no material da disciplina.
4. Antes de enviar sua atividade, certifique-se de que respondeu a todas as perguntas e realize uma cuidadosa correção ortográfica.
5. Após o envio não são permitas alterações, ou modificações. Logo, você tem apenas uma chance de enviar o arquivo corretamente. Revise bem antes de enviar!
6. Lembre-se de que evidências de cópias de materiais, incluindo de outros estudantes, sem devidas referências, serão inquestionavelmente zeradas. As citações e referências, mesmo que do livro da disciplina, devem ser realizadas conforme normas da Instituição de Ensino.
7. Não são permitidas correções parciais no decorrer do módulo, ou seja, o famoso: “professor, veja se minha atividade está certa?”. Isso invalida seu processo avaliativo. Lembre-se de que a interpretação da atividade também faz parte da avaliação.
8. Procure sanar suas dúvidas junto à mediação em tempo hábil sobre o conteúdo exigido na atividade, de modo que consiga realizar sua participação.
9. Atenção ao prazo de entrega, evite envio de atividade em cima do prazo. Você pode ter algum problema com internet, computador, software etc., e os prazos não serão flexibilizados, mesmo em caso de comprovação.

Bons estudos!
Em caso de dúvidas, encaminhar mensagem pelo Fale com o Mediador!