MAPA – GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR – 53_2024
M.A.P.A.
ETAPA 1 – SISTEMA LINEAR E MATRIZES
Um sistema dinâmico é um modelo matemático que descreve a evolução de um sistema ao longo do tempo. Ele é caracterizado por um conjunto de variáveis de estado que mudam em resposta a regras ou equações específicas. Sistemas dinâmicos são usados para modelar uma ampla variedade de fenômenos naturais e artificiais, desde a mecânica clássica até a economia e a biologia.
Considere o sistema a seguir:
E1 = x + 4y
E2 = 2x – 3y
- a) Qual a matriz que representa o sistema formado pelas equações E1 e E2?
- b) Qual o determinante da matriz de “a”?
- c) Qual a matriz inversa da matriz de “a”?
ETAPA 2 – TRANSFORMAÇÔES LINEARES
Uma transformação linear é uma função entre espaços vetoriais que mantém a estrutura aditiva e multiplicativa desses espaços. Essas transformações são fundamentais em muitas áreas da matemática e física, fornecendo uma maneira de modelar e analisar fenômenos lineares de maneira sistemática e estruturada.
Considerando o sistema da ETAPA 1 como uma transformação linear:
T (x,y) = (E1 ,E2)
- a) Qual a transformação de (1,2)?
- b) Qual a transformação de (-1,-1)?
- c) Qual a transformação de (-3,4)?
- d) Qual o Núcleo da T.L. e sua dimensão?
- e) Qual a imagem da T.L e sua dimensão?
ETAPA 3 – AUTOVALORES E AUTOVETORES
Um autovalor é um número escalar associado a uma matriz ou a uma transformação linear. Especificamente, se A é uma matriz n×n, então um escalar λ é um autovalor de A se existir um vetor não nulo v tal que a aplicação da matriz A sobre o vetor v resulta em um múltiplo escalar desse vetor.
- a) Quais os autovalores da Transformação Linear da Etapa 2?
- b) Quais os autovetores da Transformação Linear da Etapa 2?
- c) Sabendo que, para ser estável, todos os autovalores devem ser negativos, o sistema é estável ou instável?